Induksi Matematika – Makalah, Prinsip, dan Contoh Soal

Induksi Matematika – Halo pengguna setia mularumus.com, jika membahas topik apa yang tidak disukai, tentu sebagian besar jawabannya adalah apa? Apakah ada di antara Anda yang menyukai mata pelajaran Matematika ini? Berbicara tentang Matematika tentu saja berarti membahas suatu perhitungan. Itu sebabnya sebagian orang, khususnya pelajar, mungkin kurang begitu menyukai pelajaran ini.

Walaupun belajar Matematika tidak terlalu sulit, namun kehidupan kita sehari-hari penuh dengan perhitungan, maka kali ini kita akan membahas induksi matematika yang ternyata sering terjadi dalam kehidupan kita tanpa kita sadari.

Memahami

Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian yang dilakukan secara deduktif dan digunakan untuk membuktikan pernyataan-pernyataan matematika yang bergantung pada himpunan bilangan yang terinci dengan rapi (set yang tertata dengan baik). Misalnya bilangan asli atau himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Tujuan

Perlu ditegaskan bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan suatu rumus.

Lebih khusus lagi, atau pada hakikatnya, induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau mencari rumus.

Contoh

Setelah membaca penjelasan sebelumnya, berikut beberapa contoh pernyataan matematika yang dapat dibuktikan melalui induksi matematika:

P(n) : 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), n ​​​​adalah bilangan asli
P(n): 6^N + 4 habis dibagi 5, karena n sendiri adalah bilangan asli.
P(n): 4n < 2^Nuntuk setiap bilangan asli n ≥ 4

Cara awal yang paling mudah untuk memahami prinsip kerja induksi matematika adalah dengan mengamati efek domino. Kita bisa memulainya dengan menanyakan pertanyaan “kapan semua domino akan jatuh?”.

Ada dua syarat yang harus dipenuhi agar semua domino bisa jatuh:

Pertama: domino pertama atau 1 harus jatuh.
Kedua: memang benar setiap domino yang jatuh akan menjatuhkan tepat satu domino berikutnya.
Artinya jika domino 1 jatuh maka domino 2 pasti jatuh, kemudian jika domino 2 jatuh maka domino 3 juga pasti jatuh dan seterusnya sampai habis.

Secara umum dapat dikatakan jika domino k jatuh maka domino (k+1) juga ikut jatuh dan implikasinya berlaku untuk semua kartu domino.

Agar kedua syarat diatas sudah terpenuhi, maka dipastikan semua kartu domino akan tumbang juga.

Baca Juga: Contoh Soal Induksi Matematika

Prinsip

Seperti P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar jika setiap n bilangan asli memenuhi 2 syarat di bawah ini:

1. P(1) benar, artinya untuk n = 1 maka P(n) benar.
2. Setiap bilangan asli k, maka P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.

Prinsip di atas dapat diperluas ke pernyataan-pernyataan yang bergantung pada himpunan bagian tak kosong dari bilangan asli.

Perluasan prinsip:
Misal P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. P(n) benar untuk setiap bilangan asli n ≥ m jika memenuhi 2 syarat berikut:

1. P(m) benar, artinya untuk n = m maka P(n) benar
2. Setiap bilangan asli k ≥ m, maka P(k) benar dan P(k + 1) juga benar.

Untuk menunjukkan bahwa P(1) benar, kita substitusikan n = 1 ke dalam P(n). Jika P(n) disajikan dalam bentuk persamaan, berarti ruas kiri harus sama dengan ruas kanan jika n = 1, maka dapat disimpulkan P(1) benar. Dengan cara yang sama dapat diterapkan untuk menunjukkan bahwa P(m) benar.

Sekali lagi pada kasus domino yang terjadi di atas, agar domino (k+1) jatuh maka domino k harus jatuh terlebih dahulu, sehingga barulah timbul implikasi “jika domino k jatuh maka domino (k+1) akan jatuh juga ” terjadi.

Maka untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) pasti benar”, kita dapat asumsikan atau asumsikan terlebih dahulu bahwa P(k) benar.

Kemudian berdasarkan asumsi tersebut kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga pasti benar. Langkah mengasumsikan P(k) benar disebut hipotesis induksi.

Langkah Pembuktian

Setelah mengetahui prinsipnya, berikut langkah-langkah pembuktian induksi matematika yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Langkah Dasar : Tunjukkan apakah P(1) benar.
2. Langkah Induksi : Asumsikan P(k) juga benar untuk setiap bilangan asli, lalu tunjukkan bahwa P(k+ 1) juga pasti benar berdasarkan asumsi tersebut.
3. Kesimpulan : P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Seri Pembuktian

Berikut ini adalah hal-hal yang perlu Anda perhatikan mengenai seri, sebelum mulai membuktikan seri tersebut.

Jika P(n) : kamu₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_N = S_N untuk
P(1) : kamu₁ = S₁
P(k): kamu₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_k = S_k
P(k+1) : kamu₁ + kamu₂ + kamu₃ + … + kamu_k + kamu_k+1 = S_k+1

Contoh
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), jadikan masing-masing na bilangan asli.

Menjawab :
P(n): 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Segera buktikan bahwa P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Segera tunjukkan bahwa P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Maka P(1) benar

Langkah Induksi:
Asumsikan jika P(k) benar, maka itu benar
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1), k ∈ N

Segera ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Hasil asumsi:
2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Kemudian tambahkan sisi kanan dan kiri dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)
Maka P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip yang telah dijelaskan sebelumnya, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Bukti Pembagian

Pernyataan “a habis dibagi b” sinonim dengan:

1. A banyak B
2. B faktor A
3. B membagikan A

“Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) habis dibagi a.”
Misalnya :
4 habis dibagi 2 dan
6 habis dibagi 2,
Jadi (4 + 6) juga bisa habis dibagi 2

Contoh
Buktikan bahwa 6^N + 4 habis dibagi 5, karena setiap n adalah bilangan asli.

Menjawab :
P(n): 6^N + 4 habis dibagi 5
Maka segera dibuktikan bahwa P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Segera ditunjukkan bahwa P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Sehingga P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan jika P(k) benar, mis
6^k + 4 habis dibagi 5, k ∈ N

Segera ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar, yaitu
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan
6^k + 4 habis dibagi 5,
Alasannya adalah 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.
Sampai P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas terbukti 6^N + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

“Suatu bilangan bulat a dibagi dengan bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga a = bm”.
Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar karena ada bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5,2. Jadi pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat dituliskan “10 = 5m, karena m adalah bilangan bulat”
Berdasarkan konsep di atas, pembuktian keterbagian juga dapat diselesaikan dengan cara berikut.

Membuktikan Ketimpangan

Sebelum melihat contohnya, berikut adalah sifat-sifat pertidaksamaan yang umum digunakan:

Sebelum masuk ke contoh soal, alangkah baiknya jika kita berlatih terlebih dahulu menggunakan sifat-sifat di atas agar dapat menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga bisa benar”.

Menyukai :
P(k): 4k <2^k
P(k + 1) : 4(k + 1) < 2^k+1
Karena P(k) diasumsikan benar untuk k ≥ 5, tunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar!

Ingatlah bahwa target awalnya adalah menunjukkan
4(k + 1) < 2^k+1 = 2(2^k) = 2^k + 2^k (TARGET)

Pertama, Anda bisa memulai dari sisi kiri bentuk pertidaksamaan di atas:
4(k+1) = 4k+4
4(k + 1) < 2^k + 4 (karena 4k < 2^k)
4(k + 1) < 2^k + 2^k (karena 4 < 4k < 2^k)
4(k + 1) = 2(2^k)
4(k + 1) = 2^k+1

Berdasarkan sifat transitif yang telah dijelaskan maka dapat disimpulkan
4(k + 1) < 2^k+1

Mengapa 4k bisa berubah menjadi 2^k ?
Berdasarkan sifat 3, Anda diperbolehkan menjumlahkan kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama, karena tidak dapat mengubah nilai kebenaran pertidaksamaan tersebut. Karena 4k <2^k benar, hasilnya 4k + 4 < 2^k + 4 juga benar.

Bagaimana kita tahu, 4 harus diubah menjadi 2^k ?
Perhatikan target awal Anda. Hasil sementara adalah 2^k +4 sedangkan target awal adalah 2^k + 2^k.

Jika k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2^k benar, sampai 4 < 2^k juga benar (yang transitif). Akibatnya 2^k + 4 < 2^k + 2^k benar (dimana membentuk properti 3).

Contoh
Buktikan untuk setiap bilangan asli yang dimiliki n ≥ 4
3n <2^N.

Menjawab :
P(n): 3n < 2^N
Segera dibuktikan bahwa P(n) juga berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ NN

Langkah Dasar :
Segera tunjukkan bahwa P(4) benar
3,4 = 12 < 2⁴ = 16
Sehingga P(4) benar

Langkah Induksi :
Maka asumsikan P(k) juga benar, yaitu
3k < 2^kk ≥ 4

Segera ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2^k+1

3(k+1) = 3k+3
3(k + 1) < 2^k + 3 (karena 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k (karena 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Jadi P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika yang telah dibahas, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

Sekian pembahasan artikel kali ini, semoga bermanfaat dan memberikan pengetahuan baru bagi pembaca.

Baca juga artikel lainnya: