Atur Rumus – Atur Operasi, Jenis, Cara Mengekspresikannya

RumusRumus.com – kali ini kita akan membahas rumus himpunan yang meliputi pengertian himpunan dan juga rumus himpunan beserta penjelasan tentang jenis-jenis himpunan, perpotongan himpunan, cara menyatakan himpunan dan penyelesaian himpunan (SPLDV). Untuk lebih jelasnya simak pembahasannya dibawah ini

Definisi Himpunan

Koleksinya adalah kumpulan benda-benda atau benda-benda yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dapat diketahui dengan pasti mana saja benda-benda yang termasuk dalam himpunan dan mana yang tidak termasuk dalam himpunan.

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital A, B, C, D, E, …………….. Z, benda atau benda yang termasuk dalam himpunan disebut anggota himpunan atau anggota himpunan yang ditulis dengan a sepasang tanda kurung kurawal {……..}

Tipe Tipe Koleksi

1. Koleksi Alam Semesta

Himpunan semesta atau semesta pembahasan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau benda dari himpunan yang sedang dibicarakan.

Himpunan alam semesta (alam semesta pembahasan) umumnya dilambangkan dengan S atau U.

Contoh: Jika kita membahas 1, ½, -2, -½,… maka semesta pembahasan kita adalah bilangan real.

Jadi himpunan alam semesta yang dimaksud adalah R. Apakah hanya R? Jawabannya adalah tidak. Itu tergantung pada apakah kita ingin membatasi pembicaraan.

Pada contoh di atas, dapat dikatakan bahwa alam semesta adalah C (himpunan bilangan kompleks). Namun kita tidak boleh mengambil Z (himpunan bilangan bulat) sebagai semesta diskusi.

2. Koleksi Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dilambangkan dengan {} atau ∅. Himpunan nol adalah himpunan yang anggotanya hanya berjumlah l, yaitu nol (0).

3. Subset

Himpunan A adalah himpunan bagian dari B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A ⊂ B atau B ⊃ A.

Jika terdapat himpunan A dan B yang setiap anggota A merupakan anggota B, maka dikatakan A himpunan bagian dari B atau dikatakan B memuat A dan dilambangkan dengan A ⊂ B.

Jadi, A ⊂ B jika dan hanya jika ? ⊂ SEBUAH ⇒ ? ⊂B
Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A ⊄ B.

Cara Mendeklarasikan Koleksi

Himpunan dapat dinyatakan dalam tiga cara:

1. Dengan kata-kata
   yaitu dengan menyatakan seluruh syarat atau ciri-ciri keanggotaan suatu himpunan.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A = {bilangan asli antara 5 dan 12}
2. Dengan Notasi Formasi Himpunan
   yaitu menyatakan seluruh syarat atau ciri keanggotaan suatu himpunan, namun anggota himpunan tersebut dinyatakan dalam variabel yang berubah-ubah.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis {x: 5
3. Dengan mendaftarkan anggotanya
   Yaitu, tuliskan anggota himpunan secara berpasangan dalam tanda kurung kurawal dan pisahkan dengan koma.
   Contoh: A adalah himpunan bilangan asli antara 5 dan 12, ditulis A= {6,7,8,9,10,11}

Operasi Agregat

1. Atur Irisan

Perpotongan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdapat pada himpunan A dan himpunan B. Dengan kata lain, himpunan yang anggota-anggotanya terdapat pada kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}

Pada kedua himpunan terdapat dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan perpotongan himpunan A dan B adalah b dan c atau dituliskan sebagai:

A ∩ B = {b, c}

A ∩ B dibaca sebagai himpunan A perpotongan himpunan B. Dengan menggunakan diagram Venn A ∩ B dapat dinyatakan seperti pada gambar berikut.

2. Majelis Gabungan

Gabungan B ditulis A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}
Misalnya:
SEBUAH = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 11}

3. Perbedaan

A Selisih B ditulis AB = {x | x ∈ A atau x Ï B}
Misalnya:
SEBUAH = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 5, 7, 11}
AB = {1, 4}

4. Komplemen set

Komplemen A ditulis A1 atau Ac = {x | x ∈ S dan x Ï A}
Misalnya:
SEBUAH= {1, 2, … , 5}
S = {Bilangan asli kurang dari 10}
Ac = {6, 7, 8, 9}

Contoh soal operasi Himpunan

Jika Diketahui : A= {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2, 3, 6, 7, 8}
C = {4, 5, 6, 7, 8}
Menentukan:
A. A ∩ B c. B∩C
B. A ∩ C d. A ∩ B ∩ C

Menjawab :
A. A ∩ B = {2, 3}c. B ∩ C = {6, 7, 8}
B. A ∩ C = {4, 5} d. A ∩ B ∩ C = { }

Diagram Teman

Diagram venn menyajikan suatu himpunan dengan satu himpunan menggunakan lingkaran dan seluruh himpunan atau himpunan alam semesta digambarkan dengan gambar persegi.

Jenis Koleksi

1. Himpunan bilangan asli yaitu A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … }
2. Himpunan bilangan bulat yaitu C = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. }
3. Himpunan bilangan prima yaitu X = { 2, 3, 5, 7, …. }
4. Himpunan bilangan ganjil yaitu G = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …. }
5. Himpunan bilangan genap, misalnya G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …. }
6. Dan sebagainya.

Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, dapat digunakan empat metode, yaitu:

1. grafik metode
2. metode substitusi
3. metode eliminasi
4. metode campuran (substitusi dan eliminasi).

Jika terdapat dua persamaan linear dengan dua variabel berbentuk ax + by = c dan px + qy = r, dimana persamaan yang satu dan persamaan yang lain tidak dapat dipisahkan, maka persamaan tersebut disebut sistem persamaan linear dua variabel.

Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
kapak + oleh = c
piksel + qy = r

Dalam sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) a, b, p, dan q disebut koefisien, x dan y adalah variabel dari SPLDV, dan c dan r disebut konstanta.

Metode Grafik

Bila menggunakan metode grafis, wajib menggambar setiap persamaan linier dua variabel dalam koordinat Cartesian. Himpunan penyelesaiannya adalah titik potong kedua garis.

Jika garis-garisnya tidak berpotongan atau sejajar, maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Tetapi jika garis-garisnya bertepatan maka jumlah himpunan solusinya tidak terhingga.

Metode Substitusi

Langkah-langkah penggunaan metode substitusi untuk mencari himpunan penyelesaian SPLDV adalah sebagai berikut.

1. Ubah salah satu persamaan menjadi bentuk x = … atau y = …
2. Masukkan (substitusi) nilai x atau y yang diperoleh ke dalam persamaan kedua
3. Nilai x atau y yang diperoleh kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel lain yang belum diketahui (x atau y).

Metode Eliminasi

Penyelesaian SPLDV dengan metode eliminasi pada dasarnya berarti menghilangkan (eliminasi) salah satu variabel dari sistem persamaan yang akan dicari himpunan solusinya.

Caranya adalah dengan menjumlahkan atau mengurangkan kedua sistem persamaan tersebut.
Untuk menentukan variabel y, hilangkan terlebih dahulu variabel x.
Begitu pula sebaliknya, untuk menentukan variabel x, hilangkan dulu variabel y.

Sebagai catatan
Untuk menghilangkan variabel x atau y, koefisien masing-masing variabel dalam sistem persamaan harus sama.

Jika salah satunya tidak sama maka harus disamakan terlebih dahulu. Caranya adalah dengan mengalikan bilangan bulat tertentu agar koefisiennya menjadi sama

Metode Campuran (Eliminasi dan Substitusi)

Saat mengerjakan persamaan linear dua variabel, terkadang kita menemui kesulitan saat menggunakan metode eliminasi untuk menentukan himpunan solusi.

Oleh karena itu, dapat menggunakan metode campuran yaitu dengan menentukan salah satu variabel x atau y dengan menggunakan metode eliminasi.

Hasil yang diperoleh dari x atau y kemudian disubstitusikan ke salah satu persamaan linier kedua variabel tersebut.

Demikian pembahasan mengenai materi kumpulan, semoga bermanfaat

Baca Juga: