Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya

Rumusrumus.com Kali ini kita akan membahas contoh soal induksi matematika beserta jawabannya, meliputi pengertian dan pengertian induksi matematika serta berbagai langkah menyelesaikan induksi matematika.

Induksi Matematika

Induksi matematika adalah materi yang merupakan perpanjangan dari logika matematika. Logika matematika mempelajari pernyataan-pernyataan yang bisa benar atau salah, setara atau bertentangan dengan suatu pernyataan, dan juga berisi penarikan kesimpulan.

Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana suatu proses atau kegiatan berpikir menarik kesimpulan berdasarkan kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pernyataan tertentu yang spesifik juga dapat benar.

Dalam induksi matematika, variabel-variabel dari suatu rumusan dibuktikan merupakan anggota himpunan bilangan asli.

Langkah-langkah Induksi Matematika

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. yaitu:

1. bukti bahwa suatu rumus atau pernyataan benar n = 1
2. bukti bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar n = k
3. Buktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar n = k + 1

Contoh Soal Induksi Matematika

Buktikan bahwa:

Langkah 1

1 = 1 (terbukti)

Langkah 2 ( n = k )

Langkah 3 (n=k+1)

Efek Domino

Coba lihat langkah-langkah ini satu per satu. Mulailah dari langkah pertama.

Langkah 1:
Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.
Langkah pertama ini mudah. masukkan saja nilainya n=1 ke persamaannya, lalu hitung deretnya, selesai. Kesimpulannya: S1 benar (Sn benar untuk n=1).

Langkah 2:
Buktikan bahwa hal tersebut benar untuk n=k, misalkan hal tersebut juga benar untuk n=k+1.
Karena pada langkah pertama telah dibuktikan kebenaran Sn n=1artinya dia juga benar n=2. Jika Sn benar untuk n=2maka Sn juga berlaku untuk n=3. Jika Sn benar untuk n=3maka Sn juga berlaku untuk n=4. Begitu seterusnya hingga tak terhingga.

Jika penjelasan diatas masih kurang jelas, cobalah secara perlahan. Jadi bayangkan pembuktian yang dilakukan pada langkah 1 dan 2 dinyatakan dalam dua premis, premis 1 untuk pernyataan pada langkah 2 dan premis 2 untuk pernyataan pada langkah 1. Tampilannya seperti ini:

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=1

Kesimpulan:

Jika kita mempunyai dua premis seperti itu, kesimpulan apa yang dapat diambil? Karena nilai k=1, berarti k+1 adalah 2.

Artinya kesimpulannya Sn juga benar untuk n=2. Kemudian dilanjutkan dengan kesimpulan dan dimasukkan ke dalam premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=2

Kesimpulannya mudah, ternyata Sn benar untuk n=3. Ini masih bisa dilanjutkan dengan teknik yang sama. Kesimpulan ini dijadikan premis 2.

Premis 1: Jika Sn benar untuk n=k, maka Sn juga benar untuk n=k+1
Premis 2: Sn benar untuk n=3

Apa kesimpulan dari kedua premis di atas? kesimpulannya Sn benar untuk n=4. Anda dapat melanjutkan proses ini ke poin berikutnya. Namun pada titik tertentu Anda harus berhenti melakukan ini dan mulai berpikir lagi.

Jadi, jika proses ini dilanjutkan, Anda akan mendapatkan kesimpulan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Inilah sebabnya mengapa Induksi Matematika sering dikaitkan dengan efek domino. Seperti halnya efek domino, walaupun hanya menjatuhkan domino pertama, hasilnya semua domino bisa jatuh secara bergantian.

Baca Juga: